Пространства матриц и многогранники, занятие 1

В этом курсе мы изучим взаимосвязь между топологией пространств симметричных матриц и комбинаторикой выпуклых многогранников. Начнем с краткого повторения определений и стандартных фактов про собственные значения (спектр) симметричных матриц. Одним из важных объектов, возникающих при исследовании топологии матричных пространств является пермутоэдр — выпуклый многогранник с богатой геометрией и комбинаторикой. Мы изучим классическую теорему Хорна–Шура, которая утверждает, что диагонали всех симметричных матриц с заданным спектром образуют пермутоэдр. Далее перейдем к знаменитому многообразию Томеи: пространству всех трехдиагональных симметричных матриц с фиксированным спектром: опишем его связь с пермутоэдром, а также, возможно, затронем более общую конструкцию малых накрытий — пространств, склеенных из $2^n$ копий $n$-мерного выпуклого многогранника. Наконец, мы перейдем к изучению пространства периодических трехдиагональных матриц (матриц Якоби): мы изучим классические результаты ван Мёрбеке, описывающие структуру этого пространства, и поймем, как множество матриц Якоби связано с пермутоэдрическим паркетом в евклидовом пространстве. В курсе я постараюсь затронуть понятия, тесно связанные с пространствами изоспектральных матриц: QR–алгоритм (вычислительная математика) и поток Тоды (динамические системы). Если будет интерес слушателей, можно будет изучить другие матричные пространства, например, пространство изоспектральных матриц–стрелок или многообразия ступенчатых матриц.