Трилинейные операторы и функциональные уравнения

Доклад посвящен приложениям следующей естественной конструкции.
Пусть $u_1,\dots,u_{k-1},z\in\mathbb C^n$ и $D$ — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами по $z$. Оператору $D$ ставится в соответствие $k$-линейный оператор $\mathcal D$ по формуле
$$ \mathcal D(f_1,\dots,f_k)=D[ f_1(z-u_1)\dotsb f_{k-1}(z-u_{k-1})f_{k}(z+u_1+\dots+u_{k-1})]\big|_{z=0}. $$
Уравнение вида $\mathcal D(f_1,\dots,f_k)=0$ называется $k$-линейным уравнением. В случае $k=2$ эта конструкция дает известные билинейные операторы и уравнения Хироты, получившие важные приложения в теории интегрируемых систем.
Основное внимание в докладе будет посвящено трилинейным уравнениям, которые представляют собой функциональные уравнени типа теорем сложения. В этот класс входят классические уравнения, например уравнение Фробениуса–Штикельбергера дл эллиптических функций, и их обобщения, в частности новое обобщение уравнения Коши, задающего показательную функцию. Трилинейные уравнения приводят к специальному случаю «многомерных векторных теорем сложения», введенных Бухштабером и Кричевером как многомерный аналог уравнения Коши.
Наш центральный результат — трилинейные функциональные уравнения, задающие теоремы сложения для абелевых функций на многообразиях Якоби плоских алгебраических кривых.
Для понимания доклада специальных знаний не требуется.