Коммутативные однородные пространства

Для различных классов групп $G$ (таких, как локально компактные топологические группы, группы Ли, линейные алгебраические группы, $p$-адические группы Ли) можно определить разумную групповую алгебру $A(G)$. При некоторых ограничениях на подгруппу $H$ разумно рассматривать «алгебру Гекке» $A(G/H)$ $H$-биинвариантных элементов алгебры $A(G)$, являющуюся заменой несуществующей факторгруппы $G/H$ в тех случаях, когда подгруппа $H$ не нормальна. (Если $H$ нормальна, то $A(G/H)$ есть групповая алгебра группы $G/H$.) Однородное пространство $G/H$ называется коммутативным, если алгебра $A(G/H)$ коммутативна. Коммутативные однородные пространства под разными именами рассматриваются в гармоническом анализе, эквивариантной гамильтоновой механике, геометрии, теории алгебраических групп и теории чисел.
Если $G$ — локально компактная топологическая группа, а $H$ — компактная подгруппа, то коммутативность однородного пространства $G/H$ равносильна простоте спектра естественного представления группы $G$ в пространстве функций на $G/H$. В этом случае говорят, что $(G,H)$ — пара Гельфанда. Если $G$ — группа Ли, то коммутативность пространства $G/H$ равносильна коммутативности алгебры инвариантных дифференциальных операторов на $G/H$, а также коммутативности алгебры Пуассона инвариантных функций на кокасательном расслоении пространства $G/H$.
Если $G$ — редуктивная алгебраическая группа, а $H$ — редуктивная подгруппа, то коммутативность пространства $G/H$ равносильна тому, что борелевская подгруппа группы $G$ имеет в нем открытую орбиту. В теории алгебраических групп такие однородные пространства называются сферическими. Они интенсивно изучались в течение последних 25 лет. В частности, построена теория их эквивариантных открытых вложений, обобщающая известную теорию торических вложений.
В теории модулярных форм важную роль играют так называемые операторы Гекке, представляющие собой не что иное, как образующие алгебры Гекке коммутативного однородного пространства $GL(2,Q)/GL(2,Z)$.
Эффективным достаточным условием коммутативности являетс условие Гельфанда, с помощью которого им было дано простое доказательство коммутативности симметрических пространств, ранее доказанной Э. Картаном перебором случаев. Для римановых многообразий оно эквивалентно тому, что для любых двух точек существует изометрия, их переставляющая. Такие (автоматически однородные) римановы многообразия были независимо введены Сельбергом под названием слабо симметрических пространств. Надолго забытые, они привлекли внимание геометров около 10 лет тому назад.