Геометрия и механика: задачи, подходы, и методы

Задачи, возникающие в самых разных областях естествознания, а, тем более, на стыке геометрии и механики, стимулируют развитие нового качественного аналитического аппарата исследования. Например, естественным образом возникла качественная теория диссипативных систем, имеющая свои приложения во многих областях.
Основной упор при этом делается на топологическую классификацию типов траекторий и областей их расположения в фазовом пространстве. Качественное исследование динамических систем с непрерывным временем (потоков) на многообразиях требует развития новых методов.
Например, утверждения, полученные для диссипативных систем и систем с переменной диссипацией (а таковыми назовем системы, имеющие диссипацию обоих знаков), явились продолжением теории Пуанкаре–Бендиксона для потоков на замкнутых двумерных многообразиях и топологической классификации потоков.
Схема потока на сфере, топологическая классификация потоков Морса–Смейла на двумерных многообразиях, транзитивные и сингулярные потоки на торе, гомотопический класс вращения полутраекторий потоков на замкнутых ориентируемых двумерных многообразиях, необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности транзитивных потоков на замкнутых ориентируемых двумерных многообразиях и др., косвенным или прямым образом связаны с качественными вопросами, затрагиваемыми в работе авторов, которые исследуют вопросы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, как в применение к конкретным динамическим системам, возникающим в динамике твердого тела, так и в применение к произвольным динамическим системам на маломерных гладких многообразиях. Следуя Пуанкаре, уточняются некоторые качественные методы нахождения ключевых траекторий, т.е. таких траекторий, от расположения и топологического типа которых зависит глобальное качественное расположение остальных траекторий. Таким образом, можно естественно прийти к полному качественному исследованию динамической системы во всем своем фазовом пространстве. Получены условия существования бифуркации рождения устойчивых и неустойчивых предельных циклов для систем, описывающих движение тела в сопротивляющейся среде при струйном обтекании. Найдены способы нахождения любых замкнутых траекторий в фазовых пространствах таких систем, а также предъявлены признаки отсутствия любых таких траекторий. Теория плоских топографических систем Пуанкаре и систем сравнения распространена на пространственный случай. Изучаются некоторые элементы теории монотонных векторных полей на ориентируемых поверхностях. Предлагается достаточно простая методика доказательства устойчивости по Пуассону незамкнутых траекторий динамических систем.