Гипотеза А. Д. Александрова и гиперболические многогранники

В 1939 году А. Д. Александров выдвинул (и доказал для аналитических тел) следующую Гипотезу:
Пусть $K\subset R^3$ — гладкое тело. Если существует така константа $C$, что в каждой точке границы $\partial K$ выполнено неравенство $R_1\le C\le R_2$, то тело $K$ — шар. ($R_1$ и $R_2$ — главные кривизны $\partial K$).
Вопреки ожиданиям многих, гипотеза оказалась неверна. Первый контрпример был построен Yves Martinez-Maure в 2001 г. Позже оказалось, что существует много принципиально разных контрпримеров к Гипотезе. Их построение опирается на теорию гиперболических виртуальных многогранников, разработанную докладчиком.
Мы обсудим связь Гипотезы с внешней геометрией седловых поверхностей, естественным образом возникающую здесь комбинаторную задачу о раскрашенных графах на сфере, а также наиболее «продвинутый» способ построения гиперболических многогранников — натягивание «седловой оболочки» на специальные зацепления (в стиле О. и Ю. Виро) на трехмерной сфере.