Вычисление характеристических классов многообразия по его триангуляции

В докладе будет рассказано о способах вычисления классов Штифеля–Уитни и Понтрягина многообразия по заданной триангуляции. Мы будем рассматривать следующую постановку задачи: по заданной триангуляции многообразия построить явно симплициальный цикл, представляющий класс гомологий, двойственный по Пуанкаре заданному характеристическому классу многообразия. Для классов Штифеля–Уитни явная формула, задающая такой цикл, была найдена Х. Уитни еще в 1940-м году.
Для классов Понтрягина ситуация гораздо сложнее. Как известно, целочисленные классы Понтрягина существенно зависят от гладкой структуры и не являются комбинаторными инвариантами. В конце 50-х годов Р. Том и независимо В. А. Рохлин и А. С. Шварц доказали комбинаторную инвариантность рациональных классов Понтрягина. Однако их доказательство не было конструктивным: оно не давало явного способа построения характеристического цикла по заданной триангуляции. Таким образом, задача о построении комбинаторных формул для рациональных классов Понтрягина оставалась открытой. Впервые такая формула для первого класса Понтрягина была построена в 1975 году в работе А. М. Габриэлова, И. М. Гельфанда и М. В. Лосика.
В докладе будут описаны различные подходы к построению комбинаторных формул для классов Понтрягина, принадлежащие И. М. Гельфанду, Р. Д. МакФерсону, Дж. Чигеру и докладчику. Эти подходы используют совершенно различные методы (теорию ориентированных матроидов, $L_2$-теорию Ходжа и теорию бизвездных преобразований) и приводят к совершенно различным формулам, каждая из которых имеет свои достоинства и недостатки.