Многообразия над конечными полями: количественные вопросы

Конечное поле, как основное поле для алгебраического многообразия, имеет то преимущество, что число определенных над ним (и его конечными расширениями) точек многообразия — конечно. Это число — важный численный инвариант многообразия. Для кривых, про число точек мы знаем довольно много; в больших размерностях наши знания гораздо скуднее.
Я дам обзор того, что известно и что неизвестно, второго много больше.