Методы нестандартного анализа в математической физике (часть II)

В качестве примера применения некоторых идей Н.А. к изучению свойств предельных циклов для траекторий векторных полей с двумя параметрами приведено “наивное” вычисление асимптотики зависимости параметров системы Ван-дер-Поля, при которой происходит коллапс цикла с эффектом “утки”. Изложено построение нестандартного расширения “универсума математического анализа”, удовлетворяющего требованиям аксиом “переноса” и “насыщенности”. Приведены два применения этих аксиом — для доказательства существования бесконечного (“гипернатурального”) числа в расширении натурального ряда и для вложения обычного бесконечномерного гильбертова пространства в пространство гипернатуральной размерности. Упомянут недавний результат докладчика о получении в — рамках Н.А. — обобщенных плотностей плотно дифференцируемых мер на бесконечномерных пространствах; стандартное определение таких “плотностей” (относительно несуществующей — по теореме Вейля — хорошей трансляционно инвариантной меры; кроме того, как правило, (всюду плотная) область определения обобщенных плотностей имеет меру нуль) мер таково: это функции, логарифмические производные которых совпадают на плотном подпространстве с логарифмической производной меры вдоль каждого вектора из (некоторого) плотного подпространства дифференцируемости меры.