Методы нестандартного анализа в математической физике (часть I)

Сформулированы некоторые результаты — о нестандартных расширениях алгебраических систем в широком смысле — которые можно отнести к истокам и начальному развитию той области математики (возникшей в прошедшем веке), которая получила название нестандартный анализ (Н.А.). В частности, теорема — о которой, можно сказать, знали создатели Анализа еще в Новом времени — о том, что производная обычной дифференцируемой функции $f$ в точке $х$ вещественной прямой $R$ равна (единственному) ближайшему к дроби $(^*f(x+h)-f(x))/h$ обычному вещественному числу; здесь $h$ — бесконечно малое ненулевое число из линейно упорядоченного поля $^*R$, являющегося нестандартным расширением поля $R$, и $^*f$ — соответствующее нестандартное продолжение $f$ до функции из $^*R$ в $^*R$. Изложена также конструкция нестандартного расширения числовой прямой с помощью свободного ультрафильтра на бесконечном множестве.