Интегрирование элементарных функций

Элементарные функции легко дифференцировать, но трудно интегрировать. Кто хоть раз пробовал, хорошо это знает.
Все слышали также, что интегралы от многих элементарных функций не берутся «в конечном виде», но что это в точности означает и как это доказывать, известно очень немногим. Между тем, первое доказательство неэлементарности интегралов от некоторых элементарных функций было найдено Лиувиллем уже в 1831 году. Теория Лиувлля проста и изящна. Я планирую рассказать об этой теории, доказать теорему Лиувилля об интегралах от элементарных функций и обсудить критерии интегрируемости «в конечном виде» дифференциальных форм вида $R\,dx$, где $R$ — рациональная функция двух переменных $x$ и $y$, и $y$ — либо алгебраическая функция от $x$, либо функция вида $y=\exp f$, либо функция вида $y=\ln f$, где $f$ — рацональная функция от $x$.
Для понимания доклада желательно знакомство с римановыми поверхностями комплексных аналитических функций, но никаких специальных знаний не нужно.