Как узнать, случайна ли конечная последовательность чисел?

Обе последовательности (из 15 двузначных чисел):
(1) 03, 09, 27, 91, 43, 29, 87, 61, 83, 49, 47, 41, 23, 69, 07
(2) 37, 74, 11, 48, 85, 22, 59, 96, 33, 70, 07, 44, 81, 18, 55
кажутся на вид одинаково случайными. Но объективный критерий случайности (предложенный Колмогоровым в статье 1933 года в журнале страховщиков-статистиков на итальянском языке) показывает, что вероятность случайности первой последовательности примерно в 300 раз больше, чем вероятность случайности второй.
Этот критерий «объективной случайности» конечной последовательности вещественных чисел никак не связан с происхождением изучаемой последовательности: (1) — геометрическая, а (2) — арифметическая прогрессия остатков от деления на 100.
Критерий Колмогорова основан на вычислении по заданной последовательности значения некоторого параметра стохастичности $\lambda$; вероятность случайности зависит от его величины. Среднее значение $\overline{\lambda}$ параметра Колмогорова $\lambda$ есть $\overline{\lambda}=\sqrt{\pi/2}\ln 2 \approx 0.87$. Если наблюденное значение $\lambda$ сильно меньше или сильно больше, чем $\overline{\lambda}$, то случайность изучаемой последовательности маловероятна.
Теорема 1. Для прогрессий дробных долей $\{a^t\}$ и $\{at\}$ ($t=1,2,3,\dots,n$) значения параметра Колмогорова $\lambda$ стремятся к 0 при $n\to\infty$, если число $a$ рационально.
Теорема 2. Существуют такие иррациональные числа $a$, для которых показатель Колмогорова прогрессии $\{at\}$ ($t=1,2,3,\dots,n$) принимает сколь угодно много раз сколь угодно большие значения.
В докладе будет также рассказано о применении Колмогоровым своего критерия случайности к работам учеников Лысенко, опровергавшим законы генетики Менделя.