Порядковые статистики векторов с зависимыми координатами

Пусть $X$ – $n$-мерный центрированный Гауссов вектор с независимыми, но не обязательно идентично распределёнными координатами и пусть $T$ – ортогональный оператор на $\mathbb{R}^n$. Мы покажем что случайный вектор $Y=T(X)$ удовлетворяет
$$ \mathbb{E} \sum \limits_{j=1}^k j\min _{i\leq n}{X_{i}}^2 \leq C \mathbb{E} \sum\limits_{j=1}^k j\min _{i\leq n}{Y_{i}}^2 $$
для всех $k\leq n$, где $ j\min$ обозначает $j$-тую наименьшую координату соответствующего вектора и $C>0$ – абсолютную константу. Это решает (с точностью до абсолютной константы) старую проблему Маллата и Зейтуни, свазанную с оптимальностью базиса Карунена-Лоэва для нелинейных реконструкций. Также мы предложим оценки для порядковых статистик случайных векторов (не только Гауссовых), которые представляют независимый интерес. Доклад основан на совместной работе с Константином Тихомировым.