Выпуклая геометрия и алгебраические уравнения на многообразиях

Теорема Кушниренко–Бернштейна вычисляет в терминах смешанных объемов многогранников Ньютона число решений в $C^n$ системы уравнений $P_1 = \dots = P_n = 0$, где $P_i$ — достаточно общие функции из фиксированных пространств $L_i$, порожденных конечным числом мономов. В докладе будет рассказано об обобщении этой теоремы. В нем вместо $C^n$ берется любое алгебраическое многообразие $X$, вместо $L_i$ — любые конечномерные пространства рациональных функций на $X$. Мы показываем, что (правильным образом посчитанное) число решений системы $f_1 = \dots = f_n = 0$, где $f_i$ — достаточно общие функции из $L_i$, обладает всеми свойствами смешанных объемов. При этом мы одновременно получаем простые доказательства как геометрического неравенства Александрова–Фенхеля, так и алгебраической теоремы Ходжа об индексе.