Преобразования Дарбу–Мутара и их применения к спектральной теории и нелинейным уравнениям

Доклад посвящен открытым в конце XIX века методам решения дифференциальных уравнений, называемым преобразованиями Мутара и Дарбу. Впоследствии они успешно применялись к задачам спектральной теории и к солитонным уравнениям и находят новые приложения по сей день.
Преобразование Мутара позволяет строить по уравнению от двух переменных вида $\Delta u + Qu = 0$, все решения $u$ которого известны и даются явными формулами, новое уравнение того же вида, все решения которого явно строятся по решением начального уравнения. Уже применение этой процедуры к уравнению с нулевым потенциалом $Q = 0$ приводит к интересным уравнениям, что в ряде конкретных случаев было замечено еще Эйлером (уравнение Эйлера–Пуассона).
Преобразование Дарбу является одномерной редукцией преобразования Мутара и переоткрывалось много раз по мере нахождения его применений к задачам спектральной теории (точно решаемые одномерные операторы Шредингера и обратная задача рассеяния), математической физики, солитонным уравнениям.
В докладе будет рассказано о некоторых применениях преобразования Мутара к спектральной теории — построении двумерных операторов Шрёдингера с быстро убывающим потенциалом и нетривиальным ядром — а также солитонным уравнениям — построении примеров решений уравнения Веселова–Новикова, двумеризации уравнения Кортевега–де Фриза, разрушающихся за конечное время.