Конформная инвариантность критической двумерной модели Изинга и дискретный комплексный анализ

Критическая модель Изинга является классическим примером конформно инвариантной модели в двумерной статистической физике. Это означает, что естественные объекты (например, корреляции спинов) ведут себя конформно инвариантным образом (по отношению к макроскопической форме области, в которой рассматривается модель), если шаг решетки стремится к нулю. В 2000 г. O. Schramm разработал новый подход к конформной инвариантности, предложив описание предельного поведения случайных кривых (интерфейсов), разделяющих различные спины, при помощи уравнения Левнера, хорошо известного в классическом комплексном анализе. В дальнейших работах сходимость к этим, «каноническим», случайным кривым была установлена для ряда моделей, а сами кривые получили название SLE (Schramm–Loewner Evolution).
В первой части доклада будет рассказано о механизме доказательства сходимости интерфейсов к SLE. Не касаясь возникающих технических сложностей, мы сфокусируем внимание лишь на основной идее — существовании дискретно аналитической функции со специальными свойствами (дискретного голоморфного мартингала). Также будет рассказано о построении такой функции для модели Изинга, предложенном С. Смирновым (2006 г.). Во второй части будет обсуждаться универсальность модели Изинга (т.е. независимость предела от структуры решетки, на которой рассматривается модель). Это приводит к вопросу о построении разумной дискретизации комплексного анализа на широком классе планарных графов. Будет рассказано о результатах в этой области, которые, в частности, позволяют установить конформную инвариантность и универсальность модели Изинга на изорадиальных графах (или ромбических решетках, результаты С. Смирнова (Женева) и докладчика).
Доклад будет иметь популярный характер, для понимания не требуется знаний, выходящих за рамки базовых курсов по комплексному анализу и теории вероятностей.