Применение аналога формулы Римана–Гурвица в теории Ивасавы

Пусть $k=\mathbb Q(\zeta_\ell)$, где $\ell$ — нечетное регулярное простое число, и $k_\infty$ — круговое $\mathbb Z_\ell$-расширение поля $k$. Мы обсуждаем арифметику $\mathbb Z_\ell$-расширения $K_\infty/k_\infty$, где $K_\infty=k_\infty\cdot K$ и $K=k(\sqrt[\ell]{a})$ для некоторого $a\in\mathbb Z$ такого, что $a$ является $\ell$-й степенью в $\mathbb Q_\ell$, и в расширении $K_\infty/k_\infty$ разветвлены ровно три простые точки, не лежащие над $\ell$, и $\ell$ распадается в расширении $K_\infty/k_\infty$. Как следует из аналога формулы Римана–Гурвица, это простейшее расширение, которое нетривиально с точки зрения теории Ивасавы.
Пусть $N$ — максимальное абелево неразветвленное $\ell$-расширение поля $K_\infty$ такое, что в $N/K_\infty$ вполне распадаются все точки, лежащие над $\ell$, и $T_\ell(K_\infty)=G(N/K_\infty)$ — модуль Ивасавы $\mathbb Z_\ell$-расширения $K_\infty/K$. Тогда либо $T_\ell(K_\infty)\cong\mathbb Z_\ell^{\ell-1}$ как $\mathbb Z_\ell$-модуль, либо группа $T_\ell(K_\infty)$ конечна и имеет не более $\ell-1$ образующих.
Мы обсудим строение $T_\ell(K_\infty)$ как $\Gamma$-модуля, где $\Gamma=G(K_\infty/K)$, и возникающую здесь аналогию с гипотезой Римана для кривой над конечным полем.