Группы $G_n^k$, многомерные аналоги кос и инварианты топологических пространств

Общий принцип, выдвинутый докладчиком в 2015 году, гласит: Если у динамических систем общего положения, описывающих движение $n$ частиц, имеется хорошее свойство коразмерности 1, отвечающее ровно $k$ частицам, то эти динамические системы имеют топологические инварианты со значениями в группах $G_{n}^{k}$. Группы $G_{n}^{k}$ зависят от двух натуральных параметров $n>k$ и имеют $n \choose k$ образующих. Все образующие являются инволюциями. Уже группы $G_{n}^{2}$ достаточно богаты и связаны с группами Кокстера. Группы $G_{n}^{k}$ при имеют большое количество эпиморфизмов на свободные произведения циклических групп, что позволяет строить простые легко сравниваемые инварианты топологических пространств. Группы $G_{n}^{k}$ при $n\neq (k+1),k\neq 2$, весьма сложны, и в них не решена проблема тождества, за исключением группы $G_{5}^{3}$. Примерами хороших свойств коразмерности $1$ для движения различных точек по плоскости являются свойства "три точки лежат на одной прямой" и "четыре точки лежат на одной окружности/прямой", что приводит к гомоморфизмам групп крашеных кос из $n$ нитей в группы $G_{n}^{3}$ и $G_{n}^{4}$. Аналогичные свойства можно строить для евклидовых и проективных пространств произвольной размерности, при этом в роли частиц могут выступать не точки, а подмногообразия. На каких еще пространствах можно строить “хорошие свойства коразмерности 1”? Вложения многообразий в евклидовы/проективные пространства различных размерностях позволяют индуцировать группы кос и исследовать инварианты вложений. В докладе будет рассказано о многомерных аналогах групп кос и их отображениях в группы $G_{n}^{k}$ и дан обзор современного состояния теории групп $G_{n}^{k}$. Будет предложено большое количество нерешенных задач.