Интегрируемость геодезического потока в левоинвариантных субримановых задачах

Субриманова геометрия очень активно развивается последние два десятилетия. Большой интерес к ней вызван в первую очередь широким спектром приложений – от робототехники и вакономной механики до управления квантовыми системами. Понятие субриманова многообразия является естественным обобщением понятия риманова многообразия, учитывающим ограничения на скорости геодезических. Аналогично риманову случаю определяются понятия расстояния на многообразии, сферы и т.д. Изучение субримановых задач напрямую связано с явным интегрированием соответствующей гамильтоновой системы, которое не всегда возможно.
Здесь на первый план выходят левоинвариантные субримановы задачи на нильпотентных группах Ли, в частности, на группах Карно (в связи с теоремой Громова-Митчелла о нильпотентизации). Большое количество левоивнариантных задач изучены достаточно глубоко: явно найдены геодезические, построены сферы, исследованы их особенности, найдены точки разреза и т.д. Дело заключается в том, что левоинвариантные задачи обладают множеством удобных симметрий, и геодезический поток часто интегрируется явно (иногда в элементарных функциях, а иногда в эллиптических). Так было до недавнего времени. Нам удалось аналитически доказать неинтегрируемость по Лиувиллю гамильтоновых систем геодезического потока на свободных группах Карно глубины 4 и больше, что закрывает возможность явного исследования субримановых задач на этих группах существующими на сегодня методами.