Геометрия полных симметрических систем Тоды на группах Ли

Пусть $G$ — вещественная полупростая группа Ли, $\mathfrak g$ — её алгебра Ли; фиксируем разложение Картана $\mathfrak g=\mathfrak k\oplus \mathfrak p$. Полной симметрической системой Тоды на $G$ называют гамильтонову систему на пространстве $\mathfrak p$, строящуюся по корневой системе этого разложения и обобщающую обычную ("трехдиагональную") систему Тоды. Эта система (прежде всего, на группе $SL_n$) довольно подробно изучалась на протяжении последних 40 лет; было установлено, что у нее имеется достаточное количество первых интегралов в инволюции, описана структура симплектических листов и т.п. Я расскажу о еще одной довольно неожиданной стороне этой теории: оказывается, система Тоды на $\mathfrak p$ тесно связана с некоторой градиентной системой на максимальной компактной подгруппой в $G$. Я расскажу о том, какие свойства градиентных систем на $K$ соответствуют разным утверждениям про гамильтонову систему, какие инвариантные кривые и поверхности можно найти на компактной подгруппе, какие векторные поля на $K$ соответствуют некоторым первым интегралам системы Тоды, и как это все связано со структурой вещественных клеток Брюа.