Lim colim против colim lim

Использование функтора lim^1 (и в экстремальных случаях lim^2, lim^3, ...) даёт разумное описание предельных переходов в гомологиях и когомологиях симплициальных комплексов (или CW-комплексов) и, с другой стороны, компактных пространств. Но для нетриангулируемых некомпактных пространств про их гомологии и когомологии (даже ординарные) до недавнего времени по существу вообще ничего не было понятно, ввиду полного отсутствия понимания того, как прямые пределы (colim) взаимодействуют с обратными (lim).
Я расскажу о первых шагах в этом направлении - если позволит время, это будет несколько независимых сюжетов:
1) аксиомы Стинрода-Эйленберга вместе с аксиомой вырезания Милнора (map excision) и общим обобщением (неочевидным) двух аксиом аддитивности Милнора однозначно характеризуют гомологии и когомологии польских пространств, а также дают их комбинаторное описание в терминах симплициальных цепных комплексов, удовлетворяющих соотношению типа lim colim = colim lim;
2) ситуация (классическая), в которой lim и colim не коммутируют, но их "коммутатор" может быть вычислен в терминах lim^1 и нового функтора lim^1_{fg};
3) теория гомотопий, соответствующая аксиоматическим гомологиям и когомологиям польских пространств.