Коэффициент Клебша-Гордана для $\mathfrak{gl}_3$ и гипергеометрические функции

Коэффициенты Клебша–Гордана в базисе Гельфанда–Цетлина для $\mathfrak{gl}_3$ играют важную роль в теории кварков. Поэтому начиная с 60-х годов прошлого века велась активная работа по их вычислению. Тем не менее по-настоящему явная формула так и не была получена. Несмотря на это оставалась надежда, что громоздкие формулы для коэффициентов Клебша–Гордана становятся существенно более простыми при правильном взгляде на них (в частности, про это спрашивает одна из "задач Арнольда").
В одной из первых работ, посвящённых вычислению этих коэффициентов, приведена очень интересная формула. Возьмём реализацию неприводимого представления $\mathfrak{gl}_3$ в виде функций на группе $\mathrm{GL}_3$. Тогда функция, соответствующая базисному вектору Гельфанда–Цетлина, выражается через гипергеометрическую функцию Гаусса $F_{2,1}$. Также намечен путь вывода формул для действия генераторов алгебры на эти векторы через соотношения типа смежности для $F_{2,1}$.
Для функции, соответствующей диаграмме Гельфанда–Цетлина, имеется другое, более естественное представление — через функцию Гельфанда–Капранова–Зелевинского (ГКЗ).
В докладе будет дана действительно явная, обозримая формула для коэффициентов Клебша–Гордана для $\mathfrak{gl}_3$. Ключевую роль при их вычислении играют тождества для функций ГКЗ, прежде всего, некоторая формула для разложения произведения двух функций ГКЗ.