Конструкция фуллеренов и многогранников Погорелова с 5-, 6- и не более чем одной 7-угольной гранью

Многогранником Погорелова (Pog-многогранником) называется комбинаторный простой выпуклый 3-мерный многогранник, реализуемый как ограниченный прямоугольный многогранник в пространстве Лобачевского. Согласно теоремам А.В.Погорелова (1967) и Е.М.Андреева (1970) эти многогранники комбинаторно определяются отсутствием 3- и 4-поясов и исключением симплекса.
Такое ограничение возникало в работах Дж.Биркхоффа (1913), который показал, что гипотезу 4 красок достаточно доказать для этого класса многогранников, и даже для более узкого класса, для которого каждый 5-пояс окружает грань (далее Pog*-многогранники), и Д.Барнетта (1974,1977), который построил Pog-многогранники из q-бочек (многогранников Лёбелля) при помощи операций связной суммы с додекаэдром вдоль грани и срезки s подряд идущих рёбер k-угольной грани ((s,k)-усечения) и Pog*-многогранники при помощи только (s,k)-усечений.
Из результатов В.М.Бухштабера и Н.Ю.Ероховца (2017) следует, что можно считать s=2, а q в первом случае 5 или 6, а во втором – 6. Pog-многогранники исследовались Т.Иное (2008, 2015), который показал, что эти операции увеличивают гиперболический объём. В последнее время Pog-многогранники возникли в торической топологии в связи с тем, что их момент-угол многообразия (Ф. Фан, Ю.Ма, Х.Ванг, 2015) и квазиторические многообразия (В.М.Бухштабер, Т.Е.Панов, Н.Ю.Ероховец, М.Масуда, С.Парк, 2016) однозначно определяются своим кольцом когомологий.
Оказывается, любой простой 3-многогранник с 5-,6- и не более одной 7-угольной гранью (далее класс P7) является Pog. Если же разрешить хотя бы одну грань с большим числом сторон или хотя бы два 7-угольника, то найдётся два многогранника с заданными числами k-угольников, один из которых является Pog, а второй нет. Класс P7 содержит семейство всех фуллеренов. Фуллерен не является Pog* тогда и только тогда, когда он (5,0)-нанотрубка, то есть получается из додекаэдра последовательностью связных сумм с додекаэдром вдоль 5-угольника окружённого 5-угольниками.
В работах В.М.Бухштабера и Н.Ю.Ероховца (2017) любой Pog* фуллерен был построен из 6-бочки при помощи последовательности (2,6)- и (2,7)-усечений четырёх видов так, что промежуточные многогранники принадлежат P7, причём 7-угольник должен граничить с 5-угольником. Этот результат имеет физический смысл, так как образование фуллеренов описывается при помощи операций добавления и удаления двух атомов углерода, в процессе которых могут возникать 7-угольники.
Основным результатом доклада будет построение класса P7 из 5- и 6-бочек. А именно, если многогранник не является Pog*, то он получается из Pog* фуллерена при помощи последовательности связных сумм с додекаэдром. Любой Pog*-многогранник, у которого 7-угольник граничит с 5-угольником, либо является додекаэдром, либо получается из 6-бочки при помощи последовательности операций (2,6)- и (2,7)-усечения четырёх типов и трёх новых операций, являющихся композициями таких усечений. На промежуточных шагах возникают только фуллерены и многогранники из такого класса.
Если же 7-угольник не граничит с 5-угольником, то мы показываем как получить такой многогранник, дополнительно используя на промежуточных шагах Pog-многогранники с двумя 7-угольниками.
Доклад основан на одноимённой статье в журнале Symmetry, 10:3 (2018).