Модулярные функции и трансцендентность

В теории трансцендентных чисел, несмотря на ее длительную историю, имеются простые вопросы, ответы на которые не известны. Например, не известно, будет ли число $e+\pi$ иррациональным. Иррациональность $e$ доказана в 1737 г. (Эйлер), иррациональность $\pi$ в 1766 (Ламберт). В конце XIX века установлено, что $е$ и $\pi$ не являются алгебраическими числами, т.е. трансцендентны (Эрмит и Линдеман). Трансцендентность более сложно устроенного числа $е^{\pi}$ доказана в 1929 г. А.О.Гельфондом (частный случай 7-й проблемы Гильберта). Вопрос же об отсутствии алгебраических соотношений над $\mathbb{Q}$ между числами $e$ и $\pi$ (алгебраическая независимость) есть одна из наиболее известных открытых проблем теории трансцендентных чисел.
В докладе будут изложены идеи, лежащие в основе доказательства алгебраической независимости чисел $\pi$ и $e^{\pi}$. Может показаться странным, но доказательство этого факта использует модулярные функции и их свойства. Общий результат формулируется так: для каждого комплексного числа, $\alpha\in\mathbb{C}$, $\mathrm{Im}\alpha>0$ среди чисел
$$ e^{\pi i\alpha},\,E_2(\alpha),E_4(\alpha),\,E_6(\alpha), $$
где $E_{2k}(\tau)$ — ряды Эйзенштейна, есть по крайней мере $3$ алгебраически независимых над $\mathbb{Q}$ числа.
Это, в частности, означает алгебраическую независимость чисел $\pi$, $e^{\pi}$, $\Gamma(1/4)$, а также чисел $\pi$, $e^{\pi\sqrt d}$ для любого натурального $d$. Среди других следствий этого утверждения: трансцендентность значений тета-констант, трансцендентность значений эта-функции Дедекинда $\eta(q)=q^{1/24}\Pi_{n=1}^\infty(1-q^n)$ и суммы $\sum_{n\geqslant 0}q^{n^2}$ для любого алгебраического $q$, $0<|q|<1$.
Весьма важную роль в доказательстве теоремы о значениях рядов Эйзенштейна играют результаты об оценках кратностей нулей многочленов от функций $e^{\pi i\tau},\,E_2(\tau),E_4(\tau),\,E_6(\tau)$ в окрестности бесконечности в зависимости от степеней этих многочленов.