Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
Семинары
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Календарь
Поиск
Регистрация семинара

RSS
Ближайшие семинары




Узлы и теория представлений
17 апреля 2018 г. 18:30, г. Москва, ГЗ МГУ, ауд. 14-03
 


Модулярные функции и трансцендентность

Ю. В. Нестеренко

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет

Количество просмотров:
Эта страница:346

Аннотация: В теории трансцендентных чисел, несмотря на ее длительную историю, имеются простые вопросы, ответы на которые не известны. Например, не известно, будет ли число e+π иррациональным. Иррациональность e доказана в 1737 г. (Эйлер), иррациональность π в 1766 (Ламберт). В конце XIX века установлено, что е и π не являются алгебраическими числами, т.е. трансцендентны (Эрмит и Линдеман). Трансцендентность более сложно устроенного числа еπ доказана в 1929 г. А.О.Гельфондом (частный случай 7-й проблемы Гильберта). Вопрос же об отсутствии алгебраических соотношений над Q между числами e и π (алгебраическая независимость) есть одна из наиболее известных открытых проблем теории трансцендентных чисел.
В докладе будут изложены идеи, лежащие в основе доказательства алгебраической независимости чисел π и eπ. Может показаться странным, но доказательство этого факта использует модулярные функции и их свойства. Общий результат формулируется так: для каждого комплексного числа, αC, Imα>0 среди чисел
eπiα,E2(α),E4(α),E6(α),
где E2k(τ) — ряды Эйзенштейна, есть по крайней мере 3 алгебраически независимых над Q числа.
Это, в частности, означает алгебраическую независимость чисел π, eπ, Γ(1/4), а также чисел π, eπd для любого натурального d. Среди других следствий этого утверждения: трансцендентность значений тета-констант, трансцендентность значений эта-функции Дедекинда η(q)=q1/24Πn=1(1qn) и суммы n0qn2 для любого алгебраического q, 0<|q|<1.
Весьма важную роль в доказательстве теоремы о значениях рядов Эйзенштейна играют результаты об оценках кратностей нулей многочленов от функций eπiτ,E2(τ),E4(τ),E6(τ) в окрестности бесконечности в зависимости от степеней этих многочленов.
 
  Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2025