Совершенные раскраски бесконечных кратных цепей

Бесконечной цепью $C_{\inf}$ называется граф, множество вершин которого совпадает с множеством целых чисел, а ребрами соединены вершины, находящиеся на расстоянии $1$.
Пусть $G$ – произвольный транзитивный граф. Вставим копию графа $G$ вместо каждой вершины бесконечной цепи, добавим ребра, соединяющие любые две вершины из соседних копий. Полученный граф назовем $G$-кратной бесконечной цепью. Определенный таким образом граф является в точности лексикографическим произведением графов $C_{\inf}$ на $G$.
Получено полное описание совершенных раскрасок в произвольное конечное число цветов бесконечных цепей кратных пустому графу на $n$ вершинах. Аналогичный результат получен для $K_n$-кратной бесконечной цепи.
(Совместная работа с Августиновичем С.В. и Паршиной О.Г.)