О модели эффекта Джозефсона, уравнениях Гойна и вполне положительных матрицах из модифицированных функций Бесселя

Эффект Джозефсона относится к паре сверхпроводников, разделенных достаточно узкой прослойкой из диэлектрика. В 1962 г. Б.Джозефсон предсказал, что при присоединении источника питания к такому контакту сквозь диэлектрик потечет сверхпроводящий ток, и вывел описывающее его дифференциальное уравнение. В специальной сильношунтированной модели все описывается двупараметрическим семейством обыкновенных дифференциальных уравнений на двумерном торе. Для физических применений интересно изучать число вращения системы на торе как функцию от параметров и геометрию зон фазового захвата: множеств уровня функции числа вращения, имеющих непустую внутренность. Известно, что каждая зона захвата есть гирлянда из бесконечного числа компонент, разделенных точками-перемычками. Есть серия гипотез о расположении границ зон захвата и их специальных точек, включая перемычки. Рассматриваемое семейство систем на торе эквивалентно семейству линейных дифференциальных уравнений второго порядка — уравнений Гойна. Как показали В.М.Бухштабер и С.И.Тертычный, исследование уравнений Гойна связано с замечательной бесконечной матрицей из модифицированных функций Бесселя. Они высказали серию гипотез о расположении перемычек и о полиномиальных решениях уравнений Гойна и свели их к гипотезе о положительности подходящих миноров упомянутой бесселевой матрицы. В недавней работе В.М.Бухштабера и докладчика была доказана её полная положительность: все её миноры всех размерностей положительны. Тем самым доказаны гипотезы Бухштабера–Тертычного. Недавно Бухштабером и докладчиком было построено новое, многопараметрическое семейство вполне положительных бесселевых матриц. В докладе будут представлены обзор по модели эффекта Джозефсона, доказательство полной положительности бесселевой матрицы и её геометрические следствия для зон захвата.
Для понимания доклада предварительных знаний не требуется.