О выпуклости лемнискат многочленов с нулями в заданном круге

Доклад посвящен решению возникшей в 1958 году в работе П. Эрдеша, Ф. Герцога, Дж. Пираняна задачи об отыскании минимального числа $a>0$, для которого всякий комплексный алгебраический полином $P(z)$, все нули которого лежат в круге $|z|\leq a$, имеет выпуклую лемнискату $\{z: |P(z)|=1\}$. В докладе будет доказано, что такое $a$ является условным максимумом явно определяемой функции 8 переменных на явно заданном компакте в ${\mathbb R}^8$. Численные вычисления показывают, что $a=0,495668995...$ Также будет приведён первый пример полинома $P(z)$ с невыпуклой лемнискатой $\{z: |P(z)|=1\}$, все нули которого лежат в круге радиуса $<0,5$.