Множества Делоне с транзитивной группой

Для описания атомной структуры твердого тела адекватной моделью является множество Делоне. Точечное множество $X\subset \mathbb{R}^d$ называется множеством Делоне, если для некоторых положительных $r$ и $R$ выполняются два условия:
($r$-условие) открытый $d$-мерный шар $B_y(r)$ радиуса $r$ с центром в произвольной точке $y\in \mathbb{R}^d$ содержит не больше одной точки из $X$;
($R$-условие) замкнутый $d$-мерный шар $B_y(R)$ радиуса $R$ с произвольным центром $y$ содержит хотя бы одну точку из $ X$.
Для описания высокоорганизованных структур, которые присутствуют в кристаллах, используются множества Делоне особого типа, т.н. правильные системы. Правильная система — это множество Делоне $X$, в котором для любых точек $x$ и $x'$ из $X$ найдется движение $g$ пространства, такое что $g(x)=x'$ и $g(X)=X$. Другими словами, группа симметрий правильной системы транзитивна.
Переход аморфной структуры в чрезвычайно симметричную структуру, которая наблюдается в кристалле, физики объясняют тем, что при кристаллизации атомы данного сорта окружают себя одинаково в пределах некоторого радиуса. Действительно, каждый атом окружается другими атомами, образующими кластер некоторого радиуса с минимальной внутренней энергией. Естественно ожидать, что у атомов одного вида эти кластеры, минимизирующие внутреннюю энергию, конгруэнтны. Предположение о том, что из попарной конгруэнтности кластеров некоторого радиуса во множестве Делоне должна следовать правильность, т.е. попарная конгруэнтность кластеров любого данного радиуса, не было результатов в этой области, вплоть до первых работ, выполненных в отделе геометрии МИАН еще в 1970-е гг. Более того, открытие квазикристаллических структур (Пенроуз, Шехтман - Нобелевская премия) показало, что связь между 'ближним' и 'дальним' порядком не столь однозначна.
Одна из основных целей локальной теории правильных систем — строгий вывод из попарной конгруэнтности кластеров некоторого радиуса во множестве Делоне $X$ существование транзитивной группы симметрий множества $X$. Следующая задача — оценить радиус кластеров, попарная конгруэнтность которых обеспечивает правильность множества.
Итак, локальная теория связана с попыткой объяснить в геометрических терминах, почему при переходе от жидкой к твердой фазе атомная структура перестраивается из аморфной в высокоорганизованную с богатой группой симметрий.
Предполагается обсудить основные результаты локальной теории правильных систем, в том числе недавний прогресс в этой области.