Гладкие категорные компактификации и некоммутативная теория Ходжа

В этом докладе мы опровергнем две гипотезы Концевича, утверждающие обобщенную версию некоммутативного вырождения спектральной последовательности Ходжа – де Рама: для гладких и для собственных DG категорий (но не одновременно гладких и собственных, в этом случае вырождение было доказано Калединым). В частности, мы покажем, что существует 8-мерная минимальная A_{\infty}-алгебра (без единицы) над полем характеристики 0, в которой суперслед m_3 по второму аргументу не равен 0. Как следствие, мы получим отрицательный ответ на вопрос Тоена, а именно, приведем пример гомотопически конечной DG категории, не имеющей гладкой категорной компактификации (то есть ее нельзя представить как фактор гладкой компактной категории). Также получим пример собственной DG категории, которая не имеет категорного разрешения особенностей (то есть ее нельзя вложить в гладкую собственную DG категорию).