О недавних результатах, связанных с нелинейными преобразованиями мер и задачей Монжа–Канторовича

В последние несколько лет появилось много работ, находящихся на стыке теории вероятностей, теории меры, теории нелинейных дифференциальных уравнений и вариационного исчисления и посвященных нелинейным преобразованиям вероятностных распределений. Основной мотив этого направления — преобразование одного заданного вероятностного распределения в другое с помощью отображения, на которое накладываются определенные ограничения структурного или оптимизационного характера. В докладе будет рассказано о нескольких наиболее ярких недавних достижениях, формулировки которых не требуют сведений, выходящих за рамки программы 2–3 курса. В частности, будут обсуждаться так называемые треугольные отображения, т.е. отображения, заданные на $\mathbb{R}^n$ (или более общих произведениях пространств) своими компонентами $f_1,f_2$,…$, такими, что $f_1$ зависит только от $x_1$, $f_2$ зависит только от $x_1$ и $x_2$ и т.д. Другой интересный класс — оптимальные отображения, дающие решение задачи Монжа о перемещении масс. Будут упомянуты и нерешенные проблемы.