Характеристические алгебры и интегрируемость гиперболических уравнений в непрерывном и дискретном случаях

В рамках симметрийного подхода, развивавшегося уфимской школой А.Б.Шабата в начале 80-х годов прошлого века, для изучения гиперболических уравнений вида $u_{xy}=f(x,y,u,u_x,u_y)$ было введено понятие характеристической алгебры. Конечномерность характеристической алгебры отвечает явной интегрируемости соответствующего уравнения (так называемая "интегрируемость по Дарбу"), а для всех известных примеров уравнений, интегруемых методом обратной задачи, характеристическая алгебра оказывается бесконечномерной, но медленно растущей: размерности пространств кратных коммутаторов для них имеют не более чем полиномиальный рост. Недавно И.Т.Хабибуллиным понятие характеристической алгебры было обобщено на случай (полу)дискретных гиперболических уравнений.
Я расскажу о том, как при изучении гиперболических уравнений естественным образом возникает понятие характеристической алгебры. Будут обсуждены такие важные примеры, как уравнение Лиувилля и цепочки Тоды, соответствующие матрицам Картана классических простых алгебр Ли. Кроме того, на примере полудискретного уравнения Лиувилля будет продемонстрировано, что правильной алгебраической формализацией понятия характеристической алгебры являются именно алгебры Ли-Рейнхарта.
Доклад будут естественным продолжением доклада Д.В.Миллионщикова, см. его аннотацию на странице нашего семинара (заседание 21 марта).