Аннотация:
Нелинейные сингулярно возмущённые задачи, решения которых имеют пограничные и внутренние слои, представляют растущий интерес в связи с многими практически важными приложениями. Наш доклад в основном посвящён нелинейным сингулярно возмущённым параболическим уравнениям. Физически эти задачи могут быть интерпретированы как модели для систем реакция-диффузия и реакция-адвекция-диффузия в химической кинетике, синергетике, астрофизике, биологии и других областях. Решения этих задач часто имеют как узкие пограничные области быстрого изменения, так и внутренние слои различных типов (контрастные структуры), что приводит к необходимости развивать новые асимптотические методы, чтобы исследовать их как формально, так и строго.
Мы представляем нашу модификацию хорошо известного метода пограничных функций для построения асимптотик решений различных классов задач с внутренними слоями. Для того, чтобы проиллюстрировать наши идеи мы рассматриваем некоторые классы сингулярно возмущённых задач, включающие задачи генерации резких внутренних слоев, их распространение и формирование устойчивых стационарных или периодических внутренних слоёв. Эти результаты являются дальнейшим развитием наших исследований контрастных структур, которые были опубликованы в обзорной статье [1].
Другой класс сингулярно возмущённых задач, который будет обсуждаться в нашем докладе, представляют задачи в случае пересечения корней вырожденного уравнения (этот случай также называется случаем смены устойчивости). Полученные ранее результаты в этом направлении представлены в обзорной статье [2]. Здесь мы опишем новые результаты, касающиеся существования решений этого класса задач, их асимптотик, устойчивости и формирования.
Наше строгое исследование рассмотренных задач базируется на асимптотическом методе дифференциальных неравенств. Основная идея этого подхода — построение нижних и верхних решений задачи с помощью формальной асимптотики. Для всех рассмотренных задач мы доказываем существование решений, оцениваем точность асимптотики и исследуем их устойчивость и процессы формирования.
Список литературы [1] А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов, Н. Н. Нефедов, “Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах”, Фундаментальная и прикладная математика, 4, No. 3, 799–851 (1998).
[2] V. F. Butuzov, N. N. Nefedov, K. R. Schneider, “Singularly Perturbed Problems in Case of Exchange of Stabilities”, Journal of Mathematical Sciences, 121, No. 1, 1973–2079 (2004).
Обратная связь: