Калейдоскопы и группы отражений

Многие из нас знакомы с детской игрушкой – калейдоскопом, в котором разноцветные кусочки стекла, многократно отражаясь в трех зеркалах, создают красивый узор. Какими должны быть углы между зеркалами, чтобы отражения не накладывались друг на друга и создавали симметричный узор? Оказывается, что для этого углы должны быть целыми частями π. Описанный выше калейдоскоп двумерен, но, отбросив в сторону формальности, можно говорить и о многомерных калейдоскопах, и даже о неевклидовых, то есть на сфере и в пространствах Лобачевского. Все калейдоскопы на сфере и в евклидовых пространствах были найдены в 1934 году знаменитым британским математиком Г. Кокстером, и лишь спустя чуть более 30 лет Э.Б. Винбергу удалось построить эффективную теорию, позволяющую работать с калейдоскопами в пространствах Лобачевского. Я расскажу о том, как обстоят дела с поиском калейдоскопов в пространствах Лобачевского, и об открытых до сих проблемах 50-летней давности, связанных с ними.