Топологическая теория Галуа систем полиномиальных уравнений и класификация маленьких целочисленных многогранников

Теорема Абеля – простейший результат классической теории Галуа – утверждает, что общее полиномиальное уравнение степени d одной переменной разрешимо в радикалах если и только если d не выше 4. Естественное обобщение этого вопроса – попытаться классифицировать общие системы n уравнений от n переменных, разрешимые в радикалах. Оказывается, это возможно – такие системы однозначно соответствуют n-мерным приведенным целочисленным многогранникам объема не выше 4. Последние же допускают конечную классификацию, в том смысле, что все (во всех размерностях) получаются некоторыми элементарными операциями из 34 элементарных многогранников размерностей от 1 до 6. Это один из первых результатов теории Галуа для систем уравнений, о которой я расскажу. Ее дальнейшее развитие естественным образом приводит к большому числу открытых вопросов в самых разных областях от геометрии многомерных дискриминантов в духе Гельфанда-Зелевинского-Капранова до геометрии целочисленных многогранников.