Распроектирование кусочно-линейных и гладких отображений

Если задано отображение $f\colon N \to M$, поднимается ли оно во вложение $N \to M\times\mathbb{R}^k$?
Есть очевидное необходимое условие: если имеется такое поднятие $f\times g$, то существует эквивариантное отображение $\Delta_f \to S^{k-1}$, где $\Delta_f$ состоит из всех пар $(x,y)$ различных точек $N$, таких что $f(x)=f(y)$. (А именно, всякую такую пару надо отправить в единичный вектор в направлении от $g(x)$ к $g(y)$.)
Теорема. Это условие достаточно, если $f\colon N^n \to M^m$ — невырожденное кусочно-линейное отображение или гладкое погружение общего положения, $m\ge n$ и $m+k\ge \frac{3(n+1)}{2}$.
Ранее этот результат анонсировался докладчиком с дополнительными ограничениями (размерность четверных точек $f$ не превосходит $k$ и $f$ — отображение общего положения). Случай гладкого отображения с особенностями получается лишь при более сильных дополнительных ограничениях (если мы хотим поднять его в гладкое вложение).
Во второй части доклада, насколько позволит время, мы обсудим соотношения между указанной выше задачей распроектирования заданного отображения во вложение и задачей его $C^0$-аппроксимации вложением в $M\times \mathbb{R}^k$. (Это совместная работа с П.М.Ахметьевым.)
Последняя задача сводится при тех же ограничениях к существованию стабильного эквивариантного отображения $\Delta_f \to S^{k-1}$. Таким образом, различие между двумя геометрическими задачами сводится к алгебраической топологии — которую в свою очередь можно исследовать геометрическими методами (используя конструкцию Понтрягина-Тома).
Так, при достаточно больших $n$ существует гладкое погружение $S^n \to \mathbb{R}^{2n-7}$, допускающее аппроксимацию, но не распроектирование, в коразмерности $k=3$; тогда как для отображений общего положения из $N^n$ в $\mathbb{R}^{2n-2d}$ и (что сложнее) в $\mathbb{R}^{2n-2d-1}$ аппроксимация и распроектирование в коразмерности $k=d+1$ эквивалентны при $d=1,3,7$.