Теория (2n,k)-многообразий и приложения

Доклад основан на совместной работе с Svjetlana Terzic.
Рассматриваются компактные замкнутые ориентированные $2n$-мерные многообразия $M^{2n}$, на которых задано эффективное действие компактного $k$-мерного тора $T^k$ с конечным числом неподвижных точек. Естественно предполагается, что $k$ не превосходит $n$.
Мы введём и обсудим аксиоматику, которая позволяет описывать эквивариантную структуру действия тора $T^k$ и пространство орбит этого действия. Число $d=n-k$ называется сложностью действия. В случае $d=0$ наша теория приводит к известной теории квазиторических многообразий. Классические однородные пространства $G/H$ компактных групп Ли, где $H$ — подгруппа максимального ранга $k$ в группе $G$, дают важные примеры $(2n,k)$-многообразий с ненулевой сложностью.
В ряде широко известных работ исследовалась эквивариантная структура действия алгебраического тора $(\mathbb{C}^*)^k$ на комплексных многообразиях Грассмана $G(k,l)$. Получены глубокие результаты методами алгебраической геометрии и приложения в классических и современных задачах.
Наш подход опирается на опыт построения торической топологии на базе торической геометрии. Будут представлены результаты и приложения теории $(2n,k)$-многообразий, в том числе в задачах, которым посвящены работы И.М.Гельфанда-В.Сергановой, Макферсона-Горески, М.Капранова и других авторов.