Распроектирование и аппроксимация отображений вложениями

Я расскажу о совместной работе с П.Ахметьевым (https://arxiv.org/abs/1711.03520) про сравнение $k$-распроектируемости и $k$-аппроксимируемости отображений. В частности, построен контрпример к "Прем-гипотезе" о совпадении этих понятий для гладких отображений общего положения, выдвинутой П.Ахметьевым и А.Скопенковым в работе 2002 г.
Отображение $f\colon N^n \to M^m$ называется $k$-аппроксимируемым, если оно $C^0$-аппроксимируется вложениями в $M\times \mathbb{R}^k$; и $k$-распроектируемым, если оно является композицией вложения в $M\times \mathbb{R}^k$ и проекции вдоль $\mathbb{R}^k$.
Несложно видеть, что если $f$ — устойчивое гладкое отображение, то оно $k$-распроектируемо тогда и только тогда, когда оно $C^\infty$-аппроксимируется вложениями в $M\times \mathbb{R}^k$.
При некоторых разумных ограничениях задачи $k$-аппроксимации и $k$-распроектирования сводятся к эквивариантной теории гомотопий, соответственно, к стабильной и нестабильной. (Первое несложно вывести из результата А.Скопенкова 1996 г.; второе — мой недавний результат, обсуждавшийся на семинаре в прошлый раз и записаный в https://arxiv.org/abs/1711.03518).
Соотношение между эквивариантными отображениями и стабильными эквивариантными отображениями можно в свою очередь исследовать геометрическими методами (используя конструкцию Понтрягина-Тома). На этом пути нами получены следующие результаты.
Пусть $f\colon N^n \to \mathbb{R}^{2n-q}$ — $k$-аппроксимируемое кусочно-линейное отображение общего положения или гладкое складчатое отображение общего положения. Тогда оно $k$-распроектируемо в следующих случаях:
1) $q$ меньше $n/2$ и $k=1$;
2) $q\le n$ и $q\le 2k-3$;
3) $q\in \{2k-1,2k-2\}$ и $k\in\{2,4,8\}$, причём $n$ достаточно велико.