Предельные полиномы обобщённых автоморфизмов Шакона

Хорошо известно, что случайные процессы, такие, как эргодические марковкие процессы с конечным числом состояний, порождают унитарные представления со свойством асимптотического перемешивания. Для случайных процессов с дискретным временем это свойство записывается наиболее просто: E X U^t(Y) стремится к EX EY при t стремящемся к бесконечности, где U - эволюционный унитарный оператор, X и Y - ограниченные случайные величины. В тоже время, для класса динамических систем механики, включающих, в частности, задачу двух тел, установлено свойство рекуррентности (жёсткости), U^{k_j} X -> X, где k_j - некоторая глобальная определённая возрастающая подпоследовательность. Кроме того, в этом случае явно вычисляется слабое замыкание унитарного представления, которое оказывается подгруппой в группе унитарных операторов. Долгое время не существовало нетривиальных примеров явного вычисления полугруппы, порождённой унитарным представлением динамической системы. В 2014 году Де ля Рю, Жанврез, Приходько и Рыжиков вычислили полугруппу H - замыкание унитарного представления для классического автоморфизма Шакона, заданного "параболической" подстановкой 0 -> 0010, 1 -> 1. Полугруппа H состоит из нуля, а также всевозможных конечных произведений полиномов специального семейства "предельных полиномов" P_m. Эти полиномы обладают множеством удивительных свойств: симметричность коэффициентов, унимодальность, свойство Ли Янга, кроме того, они содержат цепочки неприводимых монических полиномов. В докладе будет рассказано о новых продвижениях в исследовании данного феномена. Мы покажем, каким образом вычисляются аналогичных семейства полиномов для обобщённых автоморфизмов Шакона с параметром p > 3, а также расскажем о взаимосвязи с динамическими системами на графах Шрейера групп BS(1,p).