Спектральные портреты и динамика собственных значений операторов Штурма-Лиувилля с малым или большим физическим параметром

Изучается поведение спектра задачи Штурма-Лиувилля
$$ \varepsilon y'' +q(x, \lambda) y = 0, \qquad y(a) = y(b) =0, $$
где $q$ — целая по $x$ и аналитическая по $\lambda$ функция в некоторой области $G \subset \mathbb C$. Здесь $\lambda$ — вообще говоря, нелинейный спектральный параметр, а $\varepsilon$ — физический параметр. Точки $a,\, b$ — призвольные комплексные числа, одна из которых или обе могут быть равными $\pm\infty$. Мы покажем, что при $\varepsilon \to 0$ спектр этой задачи локализуется в малой окрестности некоторого множества, называемого нами предельным спектральным графом. Мы найдем уравнения кривых, составляющих предельный спектральный граф и получим формулы распределения собственных значений вдоль этих кривых (аналоги формул квантования Бора-Зоммерфельда, известных для самосопряженных задач Штурма-Лиувилля). Будет показана связь рассматриваемой задачи с известной в гидромеханике задачей Орра-Зоммерфельда. Отдельно будет рассмотрен случай, так называемого $PT$-симметрического потенциала.