Toric orbifolds

С точки зрения алгебраической геометрии торическое многообразие $X$ — это компактификация алгебраического тора $(\mathbb C\setminus0)^n$, построенная по правилам, задаваемым веером в $\mathbb R^n$; процедура построения компактификации такова, что покоординатное умножение в торе продолжается до действия тора на $X$. Если $X$ локально гомеоморфно факторпространству пространства $\mathbb C^n$ по действию конечной группы, то $X$ есть торическое орбиобразие. Особенно интересное семейство примеров дают взвешенные проективные пространства $\mathbb CP^n(\chi)$, по определению зависящие от вектора положительных целых весов $(\chi_0,\dots,\chi_n)$. В последние годы эти пространства возникали в нескольких областях математики, включая алгебраическую и симплектическую геометрию, и теоретической физики.
Основная цель доклада состоит в том, чтобы представить философию торической топологии в контексте торических орбиобразий с постоянными ссылками на пространства $\mathbb CP^n(\chi)$. Я постараюсь сделать доклад настолько доступным широкой аудитории, насколько это возможно; многие детали будут опущены. Однако другой целью доклада является обзор недавней совметной работы с Тони Бари и Маттиасом Францем, в которой мы вычисляем кольцо эквивариантных когомологий $H_T^*(\mathbb CP^n(\chi))$ по отношение к действию стандартного компактного тора $T<(\mathbb C\setminus0)^n$. Как и следовало ожидать, результат сильно зависит от теоретико-числовых свойств весов $\chi_j$.
Наши вычисления используют результат Франца и Пуппе о точности когомологической последовательности Чжанга–Скельбреда с целыми коэффициентами. Они выражаются в терминах алгебры кусочно полиномиальных функций, ассоциированных с веером, и могут рассматриваться как чисто комбинаторные. Тем не менее, я также планирую обсудить разрабатываемую нами в настоящее время более содержательную точку зрения, которая связывает вычисления с взвешенными линзовыми пространствами, гомотопическими копределами, спектральной последовательностью Боусфельда Кана и взвешенными кольцами граней. Если позволит время, я опишу важнейшие общие свойства каждой из этих составляющих, которые лежат близко к сердцу торической топологии.
Список литературы
[1] Tony Bahri, Matthias Franz, and Nigel Ray, “The equivariant cohomology of weighted projective space”, arXiv.AT:0708.1581 (2007).