Аннотация:
Гиперболической решеткой называется свободный Z-модуль конечного ранга, снабженный скалярным умножением сигнатуры (n,1). Гиперболическая решетка L называется рефлективной, если порожденная всеми отражениями подгруппа R(L) ее группы автоморфизмов является подгруппой конечного индекса. Это равносильно тому, что фундаментальный многогранник группы R(L) является многогранником Кокстера конечного объема в n-мерном пространстве Лобачевского.
Классификация рефлективных гиперболических решеток является давней открытой проблемой, поставленной в 1967 году Э.Б. Винбергом. В.В. Никулин (1980-е, 2007) доказал, что рефлективных гиперболических решеток имеется лишь конечное число во всех размерностях, а сами размерности, для которых рефлективные решетки существуют, были ограничены Э.Б. Винбергом и Ф. Эссельманом (1984, 1996).
На данный момент классифицированы рефлективные решетки ранга 3 (В.В. Никулин, 2000, и, окончательно, Д. Аллкок, 2011), изотропные рефлективные решетки ранга 4 (Р. Шарлау, 1989), рефлективные решетки ранга 5 (Р. Шарлау, К. Вальхорн, 1992-1993) и ранга 6 (И. Туркал, 2017). Рефлективные анизотропные гиперболические решетки ранга 4, также как и рефлективные решетки рангов выше 6 до сих пор не классифицированы.
Я расскажу в докладе о новом методе классификации рефлективных гиперболических решеток (являющемся модификацией метода, примененного В.В. Никулиным), который мне удалось применить для классификации (1.2)-рефлективных анизотропных гиперболических решеток ранга 4 (то есть для решеток, чьи группы автоморфизмов с точностью до конечного индекса порождены 1- и 2-отражениями). Также я расскажу о компьютерной реализации алгоритма Винберга (совм. с А.Ю. Перепечко) построения фундаментального многогранника для групп вида R(L).
Обратная связь: