Критерий существования граничных значений в $L_p$ решений эллиптического уравнения

Работа посвящена исследованию граничного поведения решений эллиптического уравнения второго порядка. Целью исследования является получение ответа на следующий вопрос. Каким условиям должно удовлетворять решение уравнения, чтобы оно было решением задачи Дирихле с некоторой граничной функцией из $L_p, p > 1$? Рассматривается однородное уравнение в самосопряженном виде без младших членов и устанавливается критерий существования граничного значения решения в $L_p$.
Истоки этой тематики лежат в классических результатах теории функций комплексного переменного и гармонического анализа, в частности, в известных работах Ф. Рисса, Литтлвуда и Пэли, Марцинкевича и Зигмунда. Эти теоремы были перенесены на гармонические функции в том числе и многих переменных и обобщены на решения эллиптического уравнения (не обязательно однородного) с переменными коэффициентами. Наиболее полные результаты в этом направлении были получены в “гильбертовом” случае $p=2$, в котором аналоги теоремы Ф. Рисса и теоремы Литтлвуда и Пэли были доказаны при тех же условиях на коэффициенты уравнения, при которых установлена однозначная разрешимость задачи Дирихле. Общий случай $p>1$, исследованию которого посвящена настоящая работа, является существенно более сложным. Вызвано это, в частности, тем обстоятельством, что без условий типа гладкости (например, условия непрерывности) коэффициентов при $p \neq 2$ нельзя рассматривать решение из $W^1_\mathrm{p,loc}$. Кроме того, для удовлетворяющего условиям доказанного критерия решения уравнения справедливы взаимные оценки некасательной максимальной функции и аналога интеграла площадей Лузина. При этом такое решение принадлежит пространству $(n-1)$-мерно непрерывных функций; тем самым граничное значение принимается в значительно более сильном смысле.