Теорема Бернштейна-Кушниренко и кольцо условий комплексного тора

Пусть $\Gamma_1, \dots , \Gamma_n$ — алгебраические гиперповерхности в комплексном торе $(\mathbb{C}^*)^n$, заданные достаточно общими уравнениями с многогранниками Ньютона $\Delta_1, \dots , \Delta_n$. Теорема Бернштейна-Кушниренко (1975 г.) вычисляет число точек пересечения $\Gamma_1 \cap \dots \cap \Gamma_n$ по многогранникам Ньютона $\Delta_1, \dots, \Delta_n$. В теореме можно не предполагать, что уравнения достаточно общие, но вычислять число пересечений не исходных, а сдвинутых гиперповерхностей $g_1\Gamma_1, \dots , g_n\Gamma_n$, где $g_i$ — достаточно общие элементы группы $(\mathbb{C}^*)^n$ и $g_i\Gamma_i$ — множества точек вида $g_ix_i$, $x_i \in \Gamma_i$.
Пусть $X_1, \dots , X_k$ — алгебраические подмногообразия в $(\mathbb{C}^*)^n$, сумма размерностей которых равна $n$. Для почти всех $g_1, \dots , g_k \in (\mathbb{C}^*)^n$ число точек пересечения многообразий $g_1X_1, \dots , g_kX_k$ конечно и не зависит от выбора $g_1, \dots , g_k$. Это утверждение — одна из теорем теории колец условий, построенной де Кочини и Прочезе в 1980-х годах.
В докладе я объясню, как вычислять число точек пересечения многообразий $g_1X_1, \dots , g_kX_k$, расскажу, что такое тропикализация многообразия $X_i$ (заменяющая многогранник Ньютона $\Delta_i$ гиперповерхности $\Gamma_i$), и намечу описание кольца условий для $(\mathbb{C}^*)^n$. Я не предполагаю никаких специальных знаний и постараюсь быть понятным.