Интегрируемые биллиарды: перечень новых задач для исследования

Пусть дан биллиард в плоской области, ограниченной дугами софокусных квадрик. Заметим, что если отражение абсолютно-упругое, то вдоль траекторий биллиарда сохраняется квадрат модуля вектора скорости. Рассмотрим произвольную биллиардную траекторию-ломаную. Оказывается, все её звенья лежат на касательных к некоторой квадрике (эллипсу или гиперболе), принадлежащей к тому же семейству софокусных квадрик, что и граница данного биллиарда. Это означает, что вдоль траекторий биллиарда сохраняется некоторая другая функция (параметр софокусной квадрики), независимая от первой, что влечет за собой интегрируемость такой динамической системы. Интересен вопрос о топологии слоения изоэнергетического многообразия полученной системы. Это можно сделать, например, вычислив инвариант Фоменко-Цишанга. Далее, можно поставить формулировку задачи следующим образом: пусть дано трехмерное изоэнергетическое многообразие с заданным на нём слоением Лиувилля. Можно ли сконструировать биллиард, изоэнергетическая поверхность которого обладает схожей топологией. В докладе будут представлены различные конструкции интегрируемых биллиардов (топологические биллиарды, биллиарды-книжки, некомпактные биллиарды), сконструированные на основе плоского биллиарда, ограниченного дугами софокусных квадрик, и показано, какими именно интересными особенностями обладают слоения Лиувилля их изоэнергетических поверхностей. Также будет представлен ряд открытых вопросов, связанных с этими конструкциями, например, яркая гипотеза Фоменко о моделировании произвольного трехмерного изоэнергетического многообразия подходящей биллиардной книжкой. Более того, биллиард оказался хорошей и наглядной моделью для изучения интересных феноменов интегрируемых систем – к примеру задач, связанных с неполными потоками (слои – сферы с ручками), неморсовских бифуркаций, экзотических изоэнегретических поверхностей (например, линзовых пространств). Будут упомянуты вопросы, связанные с конструкциями, ранее не изучавшимися, но тем не менее, в перспективе интересными – комплексные биллиарды, невидимость, квантование.