Интегрируемый случай Адлера-ван Мёрбеке. Спектральная кривая и бифуркационная диаграмма

Случай Адлера–ван Мёрбеке интегрируемости на алгебре Ли $so(4)$ [adler1986] является в динамике твердого тела одним из наиболее сложных и наименее изученных. Благодаря [mishfom1978], [mishfom1979], посвященным интегрированию уравнений Эйлера на конечномерных группах Ли, на $so(4)$ возникает новое семейство интегрируемых квадратичных гамильтонианов с дополнительным интегралом четвертой степени. Его существование связано с особой симметрией $so(4)$, допускающей вещественное представление в виде прямой суммы $so(3)\oplus so(3)$. Впервые дополнительный интеграл представлен в оригинальной статье [adler1986]. Несколько позже, А. Рейман и М. Семенов-Тян-Шанский в работе [reyman1986] указали представление Лакса со спектральным параметром $\dot L(\lambda)=[L(\lambda), A(\lambda)]$, используя для его построения особую алгебру $\frak g$. Различные виды дополнительного интеграла, отличные от [adler1986], были указаны A. В. Болсиновым [bolsbor2002], В. В. Соколовым.
Хорошо известно, что инварианты матрицы $\trace L(\lambda)^k$ являются первыми интегралами движения, которые порождают отображение момента $\cal F$. Общих теорем о связи бифуркационной диаграммы (образа критических точек отображения момента) с дискриминантным множеством алгебраической кривой, определяемой уравнением $\Gamma(\lambda,\mu)=\det(L(\lambda)-\mu I)$, на сегодняшний день еще не существует. Тем не менее, как показывает опыт исследования конкретных механических систем [ryab2013] и др., такая связь прослеживается и ее можно сформулировать и использовать в качестве гипотезы при выводе уравнений бифуркационной диаграммы с последующими обоснованиями достаточности.
В докладе приводится в явном виде спектральная кривая $\Gamma(\lambda,\mu)$ для интегрируемого случая Адлера–ван Мёрбеке, что дает возможность нахождение бифуркационной диаграммы отображения момента $\cal F$ исходя из особенностей спектральной кривой. В [sokryaboshem2016] также аналитически исследованы критические точки ранга 0 и 1 отображения момента (положения равновесия и критические периодические траектории) дана их аналитическая классификация (определение типа в зависимости от значений параметров).
[adler1986] Adler, M. and van Moerbeke, P. A new geodesic flow on $so(4)$ // Prob., stat. mech. and numb. theory. Adv. in math. suppl. studies, 1986, vol. 9, pp. 81–96.
[reyman1986] Reyman, A. G. and Semenov-Tian-Shansky, M. A. A New Integrable Case of the Motion of the 4-Dimensional Rigid Body // Commun. Math. Phys., 1986, vol. 105, no. 3, pp. 461–472.
[bolsbor2002] Bolsinov, A. V. and Borisov, A. V. Compatible Poisson Brackets on Lie Algebras // Math. Notes, 2002, vol. 72, no. 1, pp. 10–30.
[ryab2013] Ryabov, P. E. Phase topology of one irreducible integrable problem in the dynamics of a rigid body // Theoret. and Math. Phys., 2013, vol. 176, no. 2, pp. 1000–1015.
[sokryaboshem2016] Ryabov, P. E., Oshemkov, A. A. and Sokolov, S. V. The Integrable Case of Adler–van Moerbeke. Discriminant Set and Bifurcation Diagram // Regul. Chaotic Dyn., 2016, vol. 21, no. 5, pp. 581–592.