О средней длине конечных цепных дробей с фиксированным знаменателем

Обозначим через $s\left(\frac{a}{b}\right)$ длину стандартной цепной дроби числа $a/b$
\begin{equation*} \frac{a}{b}\in\mathbb{Q}, 0< a\leqslant b,\quad \frac{a}{b}=[0;d_1,d_2,\ldots,d_{s}]. \end{equation*}
Дж. Портер (1975) доказал, что
\begin{equation}\label{1} \frac{1}{\varphi(b)}\sum\limits_{1\leqslant a\leqslant b\atop (a,b)=1}s\left(\frac{a}{b}\right)= \frac{2\log2}{\zeta(2)}\log b+ C_P-1+O_{\varepsilon}\left(b^{-1/6+\varepsilon}\right), \end{equation}
где $C_P$ явно вычисленная константа, получившая название константа Портера. Отметим, что первый результат о средней длине цепных дробей принадлежит Х.Хейльбронну, доказавшему асимптотическую формулу для левой части \eqref{1} с остатком $O(\log^4\log b)$. Дополняя методы из работ Х.Хейльбронна и Дж.Портера новыми идеями мы доказываем асимптотическую формулу \eqref{1} с остатком
$$O_{\varepsilon}\left(b^{-1/6-7/174+\varepsilon}\right).$$


Список литературы

15. В. А. Быковский, Д. А. Фроленков, “О средней длине конечных цепных дробей с фиксированным знаменателем”, Матем. сб., 208:5 (2017), 63–102        ; V. A. Bykovskii, D. A. Frolenkov, “The average length of finite continued fractions with fixed denominator”, Sb. Math., 208:5 (2017), 644–683