Порядок Брюа и обобщенные системы Тоды

Системой (открытой цепочкой) Тоды называют важную интегрируемую систему, фазовое пространство которой — пространство трехдиагональных симметрических матриц с нулевым следом. Эта система имеет много замечательных свойств и связана с большим количеством классических интегрируемых систем. Полная симметрическая система Тоды — это аналогичная система на пространстве всех бесследовых симметрических матриц. В наших работах (совместно с Ю.Черняковым и А.Сориным) мы показали, что фазовый портрет системы Тоды на симметрических матрицах с простым спектром совпадает с диаграммой порядка Брюа на группе перестановок. Я расскажу о том, как и почему это происходит, а также о том, какие обобщения есть у этого утверждения на случай матриц с произвольным спектром а также на случай дальнейшего обобщения системы Тоды — системы, заданной разложением Картана вещественной формы некоторой полупростой алгебры (в последнем случае я сформулирую общую гипотезу и опишу, какие факты свидетельствуют в пользу её справедливости).