Случайные аффинные симплексы

Рассмотрим случайные векторы $X_0,\dots, X_{k}\in\mathbb{R}^d$ с произвольной инвариантной относительно вращений совместной плотностью распределения и обозначим их выпуклую оболочку $\mathop{\mathrm{conv}}\nolimits(X_0,\dots,X_{k})$. В данном докладе мы рассмотрим вопрос о том, как меняется распределение $k$-мерного объема выпуклой оболочки $|\mathop{\mathrm{conv}}\nolimits(X_0,\dots,X_{k})|$ под действием произвольного аффинного преобразования $A$, т.е. найдем взаимосвязь между распределением случайных величин $|\mathop{\mathrm{conv}}\nolimits(X_0,\dots,X_{k})|$ и $|\mathop{\mathrm{conv}}\nolimits(AX_0,\dots,AX_{k})|$.
Данная связь позволяет получить некоторые интересные следствия в области интегральной геометрии. Одним из них является следующая формула, выполняющаяся для произвольного эллипсоида $\mathcal{E}\subset \mathbb{R}^d$:
$$ c_{k,d,p}\,\int\limits_{A_{d,k}}|\mathcal{E}\cap E|^{p+d+1}\,\mu_{d,k}(dE)=|\mathcal{E}|^{k+1}\,\int\limits_{G_{d,k}}|P_L\mathcal{E}|^p\,\nu_{d,k}(dL), $$
где $p> -d+k-1$, $A_{d,k}$ и $G_{d,k}$ обозначают аффинное и линейное многообразие Грассмана, а $P_L\mathcal{E}$ является проекцией эллипсоида $\mathcal{E}$ на линейное подпространство $L$.
Данный доклад основан на совместной работе с Ф. Гетце и Д. Запорожцем (arxiv.org/abs/1711.06578).