О синтезе импульсных управлений и теории быстрых управлений

Доклад посвящён задаче построения синтезирующих (“позиционных”) управлений в системах, допускающих импульсные воздействия конечного порядка (обобщённые “дельта-функции” и их производные). Подобные задачи, имеющие серьёзную прикладную мотивацию, рассматривались, в основном, с точки зрения программных управлений. В настоящем докладе указана возможность применения идей динамического программирования к задачам позиционного импульсного управления. Описание разрешающих стратегий синтеза управлений здесь рассматривается для систем с исходной линейной структурой, путём сочетания методов классической теории распределений с методами теории квазивариационных неравенств, свойственных гамильтонову формализму. При этом синтезированная система уже оказывается нелинейной. “Идеальные” же решения при этом таковы, что вполне управляемая система, с воздействиями, содержащими не только $\delta$-функции, но и высшие производные $\delta^{(j)}$ этих функций, может быть переведена из одного фазового состояния в другое за нулевое время. Физически реализуемые аппроксимации подобных “идеальных” решений называют “быстрыми управлениями”. Они позволяют достигать указанной выше цели управления за сколь угодно малое, конечное “нано-время”. Так, для системы в распределениях
\begin{equation} \dot x=A(t)x+B(t)u \qquad (\operatorname{supp}x(\,\cdot\,)=[\alpha,\beta],\ \ \alpha<\tau\le t\le\vartheta<\beta) \tag{1} \end{equation}
с гладкими коэффициентами и с импульсными управлениями вида
\begin{equation} u=u(t,x)=u^0(t)=\sum_{s=1}^r\sum_{j=0}^kq_{sj}\delta^{(j)}(t-\tau_s), \qquad \tau_s=\tau_s(t,x), \tag{2} \end{equation}
минимизирующими выпуклый функционал вида $\varphi(x(\,\cdot\,))$ при ограничении на норму матрицы $\{q_{sj}\}$, рассматриваются физически реализуемые аппроксимации, порождаемые решением следующей задачи. Введя обозначения
$$ L_0(t)=B(t), \qquad L_j(t)=A(t)L_{j-1}(t)-\frac{dL_{j-1}}{dt}\,, \quad j=\overline{1,k}, $$
рассмотрим систему
\begin{equation} \frac{dx}{dt}=A(t)x+\sum_0^kL_j(s)u^{(j)}(t), \qquad t\le s\le\vartheta, \tag{3} \end{equation}
с начальной позицией $\{\tau,x_\tau,k_\tau\}$, при совместных ограничениях:
интегральныx
$$ \int_\tau^\vartheta\sum_0^k\|u^{(j)}(t)\|\,dt\le k_\tau, \quad k_\tau>0; \quad k(t)\ge0, \quad t\in(\tau,\vartheta] $$

и геометрическиx
$$ \|u(s)^{(j)}\|\le\mu_j, \quad \mu_j\ge0, \quad \mu'=\{\mu_0,\dots,\mu_k\}, \quad j=0,\dots,k. $$
Требуется, при заданном $\mu$, найти синтезированное управление
$$ u^0(t,x,k\mid\mu), $$
минимизирующее функционал $\varphi(\vartheta,x(\vartheta))+k(\vartheta)$, где $\varphi(\vartheta,x)$ непрерывная, ограниченная снизу функция, выпуклая по $x$.
Решение данной задачи вытекает из следующего уравнения типа Гамильтона–Якоби–Беллмана для функции цены
\begin{gather*} V(t,x,k\mid\mu)=\min_u\{\varphi(x(\vartheta))\mid x(t)=x,\ k(t)=k,\ \|u^{(j)}(t)\|\le\mu_j\| \\ V_t+\min_u\biggl\{\biggl(V_x,A(t)x+\sum_0^kL_j(t)u^{(j)}\biggr)+\sum_0^k\|u^{(j)}(t)\|\Bigm|\|u\|\le\mu\biggr\}=0, \end{gather*}
с краевым условием
$$ V(\vartheta,x,k\mid\mu)=\varphi(\vartheta,x), \qquad k(\vartheta)=0. $$
Реализация $u_j^0[t\mid\mu]$ управления $u_j^0(t,x(t),k\mid\mu)$ является релейной функцией, принимающей одно из трёх значения $\{\pm\mu_j,0\}$ всюду, за исключений точек переключения, где $u^0[t]\in[-\mu_j,+\mu_j]$. При надлежащих условиях на последовательности $\mu_j\to\infty$ имеет место слабая сходимость вида $L_j(t)u_j^0[t\mid\mu]\to B(t)q_{sj}\delta^{(j)}(t-\tau_s)$. Таким образом, “обыкновенные” релейные (быстрые) управления для системы (3) отображаются, при $\mu_j\to\infty$, в импульсные (мгновенные) управления вида (2) для системы (1).
Заметим, что идеальные импульсные управления могут также рассматриваться как виртуальные управления, реализующие мгновенные переключения фазовых координат и коэффициентов уравнений в математических моделях гибридных систем.
Список литературы
[1] Красовский Н. Н., “Об одной задаче оптимального регулирования”, Прикладная математика и механика, 21, No. 5, 670–677 (1957).
[2] Bensoussan A. and Lions J.-L., Contrôle impulsionnel et inéquations quasi-variationelles, Paris, Dunod, (1982).
[3] Куржанский А. Б., Осипов Ю. С., “К управлению линейной системой обобщёнными воздействиями”, Дифференциальные уравнения, 5, No. 8, 1360–1370 (1969).
[4] Куржанский А. Б., “Оптимальные системы с импульсными управлениями”, Дифференциальные игры и задачи управления, УНЦ АН СССР, 131–156 (1975).
[5] Daryin A. N., Kurzhanski A. B., and Seleznev A. V., “A dynamic programming approach to the impulse control synthesis problem”, Proc. Joint 44th IEEE CDC-ECC 2005, Seville, 8215–8220 (2005).