Порядок Брюа и обобщенные системы Тоды

Системой (открытой цепочкой) Тоды называют важную интегрируемую систему, фазовое пространство которой — пространство трехдиагональных симметрических матриц с нулевым следом. Эта система имеет много замечательных свойств и связана с большим количеством классических интегрируемых систем. Обобщенная система Тоды — это аналогичная система на пространстве всех бесследовых симметрических матриц, или на аналогичном подпространстве в некоторой вещественной алгебре Ли. В наших работах (совместно с Ю.Черняковым и А.Сориным) мы показали, что фазовый портрет системы Тоды на симметрических матрицах совпадает с диаграммой порядка Брюа на группе перестановок. В своем докладе я расскажу, на чем основано это утверждение, и о том, как можно попытаться обобщить его на произвольные группы Ли.