Аннотация:
Рассмотрим классическую управляемую систему по Понтрягину:
\begin{equation}
\dot x=f(x,u), \qquad x\in M, \quad u\in U,
\tag{1}
\end{equation}
где пространство состояний $M$ – гладкое многообразие, множество управляющих параметров $U$ – замкнутое подмножество, вообще говоря, другого гладкого многообразия, правая часть $f$ – гладкая, и выполняется подходящее условие полноты, обеспечивающее продолжимость допустимых
траекторий на всю временную ось.
Назовём управлениями измеримые ограниченные по $t$ и гладкие по $x$ отображения $\mathbf u\colon(t,x)\mapsto\mathbf u(t,x)$ со значениями в $U$: своеобразная смесь программных управлений и управлений обратной связи. Подстановка управления в систему (1) приводит к неавтономному обыкновенному дифференциальному уравнению
\begin{equation}
\dot x=f(x,\mathbf u(t,x)),
\tag{2}
\end{equation}
которая порождает семейство диффеоморфизмов $P_t\colon M\to M$, где $P_0(x)=x$, а кривые $t\mapsto P_t(x)$ удовлетворяют уравнению (2) для любого $x\in M$. Мы говорим, что $t\mapsto P_t$ – допустимая “траектория” в группе диффеоморфизмов, отвечающая управлению $\mathbf u$.
Интегральному функционалу
$$
J(u(\,\cdot\,))=\int_0^T\varphi(x(t),u(t))\,dt
$$
и вероятностной мере $\mu$ на $M$, сопоставляется функционал
$$
\mathbf J_\mu(\mathbf u)=\int_0^T\int_M\varphi(P_t(x),\mathbf u(t,x))\,d\mu\,dt
$$
на пространстве управлений $\mathbf u$.
В докладе предполагается обсудить вопросы управляемости и оптимального управления для определённых таким образом систем на группе диффеоморфизмов.
Обратная связь: